ЕГЭ онлайн > Математика > Вариант 3 > Результаты

Используя формулы приведения, преобразуем исходное неравенство: 

`|sinx| <= 1+2cosx + cos^(2)x`

`|sinx| <= (1+cosx)^(2)`

Далее возможны варианты:

`sinx <= (1+cos x)^(2),`    при `sinx >= 0,\ x in [0;pi]+pin,\ ninZ`         (C1.1)

`-sin x <=(1+cosx)^2,`    при `sin x < 0,\ x in (pi;2pi)+pin,\ ninZ`         (C1.2)

Рассмотрим первый вариант. В преобразованиях используем формулы двойного (половинного) аргумента:

`(1+cosx)^2-sin x>=0`

`2cos^(2) ``x/2 - 2sin``x/2*cos``x/2 >=0`

`cos``x/2*(cos``x/2-sin``x/2``)>=0`    (C1.3)

Воспользуемся методом интервалов. В данном случае он используется точно так же, как и в случае использования числовой оси, только аргумент располагается по окружности. Решим уравнение:

`cos``x/2 * (cos``x/2-sin``x/2``)=0`

`cos``x/2=0;\ x/2=pi/2+pil;\ x=pi+2pil,\ linZ`

`cos``x/2-sin``x/2=0;\ tg` `x/2=1;\ x/2=pi/4+pim;\ x=pi/2+2pim,\ minZ`

Решением неравенства (С1.3) являются три квадранта – все кроме второго, однако, с учетом условия (С1.1), для которого данное неравенство записано, мы должны ограничится верхней полуплоскостью. Таким образом, решением первого варианта является

`x in [0;pi/2]uupi+2pirho,\ rhoinZ`

Решение второго варианта аналогично с Рис. С.1.1 точностью до знака в скобках неравенства (С1.3) и учётом условия (С1.2). Окончательным решением исходного неравенства является (рис. С1.2): 

`x in [-pi/2;pi/2]uupi+2pirho,\ rhoinZ`

Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. С2.1). Задача сводится к плоскому случаю вписанного в окружность равнобедренного треугольника. Радиус описанной окружности совпадает с радиусом искомой сферы, основание равнобедренного треугольника равно двум радиусам основания конуса, высота треугольника равна высоте конуса.

Найдём радиус R описанной окружности.

С одной стороны, площадь треугольника может быть найдена через основание и высоту, с другой – через произведение сторон и радиус описанной окружности (недостающую длину боковой стороны треугольника выразим из теоремы Пифагора):

`rh=(2r(r^(2)+h^(2)))/(4R)\ =>\ R=(r^(2)+h^(2))/(2h)`  

Таким образом, искомая площадь поверхности сферы:

`S = 4piR^2 = pi(r^2+h^2)^2/(h^2)=25/4`

Ответ: 25/4 (или 6,25)

Разложим на множители левую часть второго уравнения системы и прологарифмируем его по основанию 2:

`(x+y)(x-y)=2`

`log_(2)(x+y)+log_(2)(x-y)=1`

Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы:

`log_(2)(x-y)+log_(3)(x-y)=0`

Откуда следует, что `x-y=1`. Тогда из первого уравнения системы следует, что `x+y=2`.

Ответ: (1,5; 0,5)

Введём размерный параметр `a` и обозначим в соответствии с условиями задачи `AB=2a`, `BC=3a` и `AC=4a`. Воспользуемся свойством биссектрисы делить противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство легко доказывается с использованием теоремы синусов, если рассмотреть малые треугольники, на которые биссектриса делит основной треугольник). Тогда:

`(BD)/(AD) = (BC)/(AC) = (3a)/(4a) = 3/4`

Поскольку `AB = 2a,\ AB=AD+BD,\ ` то

`BD = 2a * 3/7 = (6a)/7;\ AD = 2a * 4/7 = (8a)/7.`

Применяя то же свойство к биссектрисе `BO` в треугольнике `BDC`, находим

`(CO)/(OD) = (BC)/(BD) = (3a)/((6a)/7) = 7/2`

Ответ: 7/2 (или 3,5)

Будем исходить из того, что биквадратное уравнение имеет не менее трёх различных корней. Вариант с тремя корнями очевиден:

`a=0,\ x_(1)=-sqrt(10),\ x_(2)=0,\ x_(3)=sqrt(10).`

Рассмотрим вариант с четырьмя корнями. Будем использовать возрастающую нумерацию корней:

`x_(1)<x_(2)<x_(3)<x_(4).`

В силу четности биквадратичной функции:

`|x_(1)|=x_(4),\ |x_(2)|=x_(3).`

В силу введённой нумерации:

`-x_(1)=x_(4),\ -x_(2)=x_(3)`                                          (C5.1)

Теорему Виета можно записать в виде:

`{(-x_(1)*x_(4)-x_(2)*x_(3)=10),(x_(1)*x_(4)*x_(2)*x_(3)=a):}`                                    (C5.2)

Учитывая (С5.1), первое уравнение системы (С5.2) преобразуется к виду:

`x_(1)^(2)+x_(3)^(2)=10.`                                                        (C5.3)

Поскольку корни симметричны, то

`x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=0.`                                         (C5.4)

Поскольку они образуют арифметическую прогрессию, то

`x_(4)-x_(3)=x_(3)-x_(2)\ =>\ x_(4)=2x_(3)-x_(2)`                (C5.5)

Подставляя (С5.5) в (С5.4), получим

`x_(1)+3x_(3)=0`                                                          (C5.6)

Решая совместно (С5.3) в (С5.6) как систему, получаем две пары решений (3; –1) и (–3; 1), которые и являются членами искомой прогрессии (с аналогичным результатом можно было провести те же самые рассуждения относительно пары `x_(2)`, `x_(4)`). Подставляя их во второе уравнение системы (С5.2), находим `a=9`.

Ответ: 0,9 (a=0, a=9).

Тот факт, что при перестроении по 9 человек в ряд, все ряды оказались заполненными, говорит о том, что общее число людей в группе кратно 9.

Тот факт, что при построении по 5 или 10 человек в ряд последний ряд остаётся незаполненным, говорит о том, что общее число людей в группе не кратно 5.

Обозначив искомое число людей в группе за `N`, запишем варианты перестроений в следующем виде:

`N=10x-Delta_(1)`                       при построении по 10 в ряд;      (1)

`N=9(x+1)`                         при построении по 9 в ряд;        (2)

`N=5(x+1+10)-Delta_(2)`      при построении по 5 в ряд;        (3)

Где `x` – первоначальное число рядов при построении по 10 в ряд, `Delta_(1)` – число вакансий в последнем ряду при построении по 10 в ряд (натуральное число от 1 до 9 включительно, кроме 5), `Delta_(2)` – число вакансий в последнем ряду при построении по 5 ряд (натуральное число от 1 до 4 включительно).

Возможны два варианта:

1. При первоначальном построении последний ряд заполнен более чем на половину, т.е. `Delta_(1)=Delta_(2)`.

2. При первоначальном построении последний ряд заполнен менее, чем на половину, т.е. `Delta_(1)=Delta_(2)+5` (*).

По первому варианту – если число рядов при перестроении по 5 в ряд стало на 11 больше (3), следовательно, столько их и было при первоначальном построении по 10. Тогда из (1):

`N = 10 * 11 -Delta_(1) = 108`  – выбираем ближайшее число кратное 9 для соблюдения условия (2).

По второму варианту, число рядов увеличилось на 11, но при первоначальном построении их было на один больше. Тогда, соотношение (1) с учётом (*):

`N = 10 * 12 - 5 - Delta2.`

Ближайшее число, меньшее 115 и кратное 9, это снова 108, однако, `Delta_(2)` при этом равно 7, что означает автоматический переход к первому варианту.

Ответ: в группе было 108 человек.